Решение системы линейных уравнений методом простой итерации

Циклические вычисления можно проводить и над массивами. В качестве примера такой задачи рассмотрим итеративный способ решения системы линейных уравнений AX = B. Если применить метод простой итерации, то вектор решений X определяется следующим рекуррентным соотношением:

XK+1 = XK -(AXK -B) k= 1…N

Чтобы запустить процесс вычислений, нужно задать начальное приближение - вектор X1. Для сходимости процесса необходимо, но не достаточно, чтобы норма матрицы А была меньше 1. Иногда достаточно соответствующим образом масштабировать матрицу А и вектор В. Но нас конечно интересуют другие вопросы,- как реализовать на Excel это итеративное соотношение над векторами и матрицами, не прибегая к программированию на VBA и используя циклические вычисления. Покажем, что решение получить ненамного сложнее, в сравнении с применением схемы Ньютона для одного уравнения. Я сделал следующее:

Ввел матрицу А и вектор В, предварительно нормировав их. Заметим, что нужно правильно выбирать ориентацию векторов. В данном случае мне было удобнее представлять вектор В строкой. Вектор получил имя Veb.
Затем определил вектор с именем Vxinit, задающий начальное приближение.
Затем определил еще один вектор с именем Vxcur. Это вектор решений, его значения будут изменяться в цикле, пока не закончится итерационный процесс. Формула для вычислений будет определяться написанным выше рекуррентным соотношением, и представлять собой формулу над массивами. Учитывая то, что говорилось ранее о рекуррентных соотношениях, формула должна быть IF - функцией. Это позволит использовать на первом шаге начальное приближение, а потом уже вести вычисления по рекуррентной формуле. Приведем теперь саму формулу над массивами, вычисляющую рекуррентно вектор Vxcur:

{=ЕСЛИ(Vxcur=0; Vxinit; Vxcur - Axhor + Veb)}

Здесь, как и ранее, используются нулевые значения, как признак начала процесса. Заметим, что, конечно, было бы лучше, если бы существовала возможность явной инициализации переменных при циклических вычислениях, а так наши действия немного напоминают фокус. Вектор Axhor, введенный в формулу - это вспомогательный вектор, равный произведению матрицы А на текущий вектор Vxcur. Если процесс вычислений сходится, и Vxcur сходится к решению системы уравнений, то вектор Axhor будет сходиться к вектору Veb.
Содержание Назад Вперед

Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий